Выводы по плоским геометрическим преобразованиям | MetodPro.ru

Реклама на сайте

Выводы по плоским геометрическим преобразованиям


Подводя итог изучению двумерных преобразований, еще раз обратим внимание на структуру матрицы преобразования.

М =

Элементы a,b,c и d определяют коэффициенты поворота, масштабирования и сдвига. Элементы е и f  служат для формирования переноса. Смысл трех оставшихся элементов необходимо прояснить. Начнем с k и m. Обычно, мы устанавливали им нулевое значение. Теперь положим их отличными от нуля,  элементы главной диагонали приравняем к единице, а остальные элементы обнулим. Применим получившееся преобразование к произвольной точке заданной в однородных координатах с w =1.

[x’ y’ w’] =  [x y 1] = [x y kx+my+1]

x’ = x,    y’=y 

Для того, чтобы понять результат, обратимся к геометрической интерпретации однородных координат. Точка в однородных координатах определяется тройкой, следовательно, мы имеем дело с трехмерной координатной системой, определенной в пространстве. Две оси системы нам привычны это X и Y, а третья – W, ось масштабных коэффициентов. Зафиксировав значение W, установив его равным единице, мы перешли от пространства к плоскости параллельной плоскости XOY. Установив элементы k и m отличными от нуля, мы сняли данное ограничение и полученная в результате преобразования точка расположена в пространстве. При этом ее третья координата определяется по формуле kx+my+1 т.е. зависит от значений x и у. Следовательно, точки, подвергшиеся данному преобразованию, будут лежать в некоторой плоскости не параллельной плоскости XOY. Вернем точку на плоскость W=1 путем проецирования лучами, проходящими через начало координат. Из подобия треугольников x’’= x’/w’= x/( kx+my+1) и аналогично y’’= y’/w’= y/( kx+my+1). Таким образом, математически подобное проецирование выразится в простой нормализации.

[x’’ y’’ 1] =

Для выяснения смысла элемента s матрицы преобразования, проведем рассуждения по аналогичной схеме. Умножим произвольную точку на соответствующую матрицу с ненулевым значением s. 

[x y 1] = [x y s]

Все точки, подвергшиеся такому преобразованию будут лежать в плоскости W=s которая параллельна плоскости W=1. Нормализация будет приводить к простому масштабированию с одинаковыми коэффициентами по осям.

[x’ y’ 1] =

Основное отличие такого масштабирования от рассмотренного ранее состоит в том, что при s<1 будет происходить растяжение, а при s>1 – сжатие.



Методические пособия

  • Системы автоматизированного проектирования
  • Социология молодёжи
  • Общая социология
  • Криптография
  • Проектирование трансляторов
  • Компьютерная графика
  • Моделирование систем
  • Информационная безопасность
  • Теория вычислительных процессов
  • Логические основы искусственного интелекта
  • Проектирование распределённых информационных систем